第 4 章：图解法 —— 在坐标系中找到最优解¶
场景： 第 3 章我们把奶茶店问题列成了数学模型。现在让我们用 画图 的方法来求解。当只有两个变量时，图解法是最直观的方法——把约束条件画成区域，把目标函数画成等值线，然后在可行域中找到最佳位置。
4.1 图解法的核心思想¶
核心比喻：地图找峰
想象你在一片山区（可行域）里，要找到最高点（最优解）。你看不见整片地形，但你有一条指向山顶方向的指南针（目标函数梯度）。图解法就是：
- 在地图上圈出你能去的区域（可行域）
- 沿着指南针方向移动，直到无法再升高（等值线平移）
- 停下的位置就是最高点（最优解）
4.2 图解法的步骤¶
步骤 1：建立坐标系¶
以决策变量为坐标轴： - \(x_1\) 轴：横坐标 - \(x_2\) 轴：纵坐标
步骤 2：画出可行域¶
每个线性约束条件在图上对应一条直线，直线的一侧满足约束。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 奶茶店问题的约束：
# 2x1 + x2 <= 10 (牛奶约束)
# x1 + 2x2 <= 8 (茶叶约束)
# x1 >= 0, x2 >= 0
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
x1 = np.linspace(0, 12, 100)
# 约束1: 2x1 + x2 <= 10 → x2 <= 10 - 2x1
x2_1 = 10 - 2 * x1
ax.fill_between(x1, 0, np.minimum(x2_1, 12), alpha=0.2, color='blue', label='可行域')
# 约束2: x1 + 2x2 <= 8 → x2 <= (8 - x1) / 2
x2_2 = (8 - x1) / 2
ax.fill_between(x1, 0, np.minimum(x2_2, 12), alpha=0.1, color='green')
# 坐标轴
ax.axhline(y=0, color='black', linewidth=0.5)
ax.axvline(x=0, color='black', linewidth=0.5)
# 约束线
ax.plot(x1, x2_1, 'b-', linewidth=2, label=r'$2x_1 + x_2 \leq 10$')
ax.plot(x1, x2_2, 'g-', linewidth=2, label=r'$x_1 + 2x_2 \leq 8$')
ax.set_xlim(0, 12)
ax.set_ylim(0, 12)
ax.set_xlabel(r'$x_1$ (A 奶茶数量)', fontsize=12)
ax.set_ylabel(r'$x_2$ (B 奶茶数量)', fontsize=12)
ax.set_title('线性规划可行域（阴影区域）', fontsize=14)
ax.legend()
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
渲染效果： 生成一张坐标系图，显示两条约束线及其围成的可行域（阴影区域）。
4.3 目标函数的等值线¶
目标函数 \(z = 5x_1 + 3x_2\) 在图上是一簇平行线：
\(5x_1 + 3x_2 = z\)
当 \(z\) 取不同值时，这些直线互相平行。
# 目标函数等值线：z = 5x1 + 3x2
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
x1 = np.linspace(0, 12, 100)
# 画出不同 z 值对应的等值线
for z in [5, 10, 15, 20, 25, 30]:
x2 = (z - 5 * x1) / 3
valid = x2 >= 0
ax.plot(x1[valid], x2[valid], '--', linewidth=1.5, alpha=0.7)
ax.text(x1[valid][-1] + 0.1, x2[valid][-1], f'z={z}', fontsize=9)
# 可行域
ax.fill_between(x1, 0, np.minimum(10 - 2*x1, (8 - x1)/2), alpha=0.15, color='blue')
# 约束线
ax.plot(x1, 10 - 2*x1, 'b-', linewidth=2)
ax.plot(x1, (8 - x1)/2, 'g-', linewidth=2)
ax.axhline(y=0, color='black', linewidth=0.5)
ax.axvline(x=0, color='black', linewidth=0.5)
ax.set_xlim(0, 12)
ax.set_ylim(0, 12)
ax.set_xlabel(r'$x_1$', fontsize=12)
ax.set_ylabel(r'$x_2$', fontsize=12)
ax.set_title(r'目标函数等值线 $z = 5x_1 + 3x_2$（虚线）', fontsize=14)
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
渲染效果： 显示一簇平行等值线穿过可行域，\(z\) 值越大，直线越往右上方向移动。
4.4 确定最优解¶
最优解在 等值线与可行域边界相切 的位置。
def solve_graphically():
"""
图解法求解奶茶店问题
max z = 5x1 + 3x2
s.t. 2x1 + x2 <= 10
x1 + 2x2 <= 8
x1, x2 >= 0
"""
# 可行域的顶点（极点）
vertices = [
(0, 0), # 原点
(5, 0), # 2x1=10, x2=0
(0, 4), # x1=0, x2=4（茶叶线截距）
(4, 2), # 2x1+x2=10 且 x1+2x2=8 的交点
]
# 检查每个顶点是否可行
print("可行域顶点分析:")
print("=" * 50)
best_z = -float('inf')
best_vertex = None
for (x1, x2) in vertices:
# 检查约束
c1 = 2*x1 + x2 <= 10 + 1e-10
c2 = x1 + 2*x2 <= 8 + 1e-10
if c1 and c2:
z = 5*x1 + 3*x2
print(f"顶点 ({x1}, {x2}): z = 5×{x1} + 3×{x2} = {z:.2f} ✓")
if z > best_z:
best_z = z
best_vertex = (x1, x2)
else:
print(f"顶点 ({x1}, {x2}): 不可行 ✗")
print(f"\n最优解: x1 = {best_vertex[0]}, x2 = {best_vertex[1]}")
print(f"最大利润: z = {best_z:.2f}")
return best_vertex, best_z
vertex, z_opt = solve_graphically()
渲染效果：
可行域顶点分析:
==================================================
顶点 (0, 0): z = 0.00 ✓
顶点 (5, 0): z = 25.00 ✓
顶点 (0, 4): z = 12.00 ✓
顶点 (4, 2): z = 26.00 ✓
最优解: x1 = 4, x2 = 2
最大利润: z = 26.00
4.4 四种解的分类¶
用图解法可以直观看到线性规划的四类解：
类型 1：唯一最优解¶
等值线与可行域边界恰好相交于一点。
def plot_unique_optimal():
"""唯一最优解"""
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
x1 = np.linspace(0, 6, 100)
# 可行域
ax.fill_between(x1, 0, np.minimum(10-2*x1, (8-x1)/2), alpha=0.15, color='blue')
# 约束线
ax.plot(x1, 10-2*x1, 'b-', lw=2)
ax.plot(x1, (8-x1)/2, 'g-', lw=2)
ax.axhline(y=0, color='k', lw=0.5)
ax.axvline(x=0, color='k', lw=0.5)
# 最优等值线（刚好通过 (4,2)）
x2_best = (26 - 5*x1) / 3
ax.plot(x1, x2_best, 'r--', lw=2.5, label=r'$z = 26$ (最优)')
ax.scatter([4], [2], color='red', s=200, zorder=5, marker='*', label='最优解 (4, 2)')
ax.set_xlim(0, 6)
ax.set_ylim(0, 6)
ax.set_xlabel(r'$x_1$')
ax.set_ylabel(r'$x_2$')
ax.set_title('唯一最优解 (4, 2), z = 26')
ax.legend()
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
plot_unique_optimal()
渲染效果： 红色虚线（最优等值线）恰好通过点 (4, 2)，该店每天卖 4 杯 A 奶茶和 2 杯 B 奶茶，利润 26 元。
类型 2：无穷多最优解¶
当目标函数等值线与可行域的一条边界平行时，整条边界都是最优解。
def plot_multiple_optimal():
"""无穷多最优解"""
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
x1 = np.linspace(0, 8, 100)
# 可行域
ax.fill_between(x1, 0, np.minimum(8-x1, 8-2*x1), alpha=0.15, color='blue')
# 约束线
ax.plot(x1, 8-x1, 'b-', lw=2, label=r'$x_1 + x_2 = 8$')
ax.plot(x1, 8-2*x1, 'g-', lw=2, label=r'$2x_1 + x_2 = 8$')
ax.axhline(y=0, color='k', lw=0.5)
ax.axvline(x=0, color='k', lw=0.5)
# 目标函数 z = 4x1 + 4x2 与上边界平行！
x2_best = (32 - 4*x1) / 4
ax.plot(x1, x2_best, 'r--', lw=2.5, label=r'$z = 32$ (最优等值线)')
# 标记整条最优边界
ax.plot([0, 4], [8, 0], 'r-', lw=4, alpha=0.3, label='无穷多最优解')
ax.scatter([0, 4], [8, 0], color='red', s=100, zorder=5)
ax.set_xlim(0, 8)
ax.set_ylim(0, 9)
ax.set_xlabel(r'$x_1$')
ax.set_ylabel(r'$x_2$')
ax.set_title(r'无穷多最优解：$z = 4x_1 + 4x_2 = 32$（沿整个上边界）')
ax.legend()
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
plot_multiple_optimal()
渲染效果： 最优等值线与可行域上边界平行，整条线段（从 (0,8) 到 (4,0)）上的所有点都是最优解。
类型 3：无界解¶
可行域向某个方向无限延伸，目标函数可以无限增大（或减小）。
类型 4：无可行解¶
约束条件相互矛盾，可行域为空集。
图解法的局限
图解法只能处理两个变量的问题。当变量增加到三个或更多时，我们需要 单纯形法 ——一种能够处理任意维度问题的代数方法。
要点总结¶
- 图解法核心：可行域（阴影区域）+ 等值线（平行线簇）
- 最优解 = 等值线与可行域边界相切的位置
- 最优解必定在可行域的 顶点 （极点）上
- 四类解：唯一最优、无穷多最优、无界解、无可行解
- 图解法只适用于 2-3 个变量，更多变量需要单纯形法
课后练习¶
- 手算练习 ：用图解法求解以下问题： \(\max \quad z = 4x_1 + 3x_2\)
约束条件：
\(x_1 + x_2 \le 6\)
\(2x_1 + 3x_2 \le 15\)
\(x_1, x_2 \ge 0\)
- 分类练习 ：分析以下线性规划问题属于哪类解：
- 可行域无界向右上延伸
-
约束条件为 \(x_1 + x_2 \le 1\) 和 \(2x_1 + 2x_2 \ge 5\)
-
思考题 ：如果目标函数是 \(z = x_1 + x_2\) 而非 \(z = 5x_1 + 3x_2\)，最优解会变化吗？最优值呢？
下一章预告： 图解法告诉我们最优解在顶点，但代数上如何系统地找到所有顶点？第 5 章将介绍 标准形式 ——一种所有线性规划问题都可以转换成的统一格式，以及灵敏度分析。